El Modulor de Le Corbusier

El Modulor de Le Corbusier

El Modulor, es una gama de proporciones que hace lo malo difícil y lo bueno fácil. Albert Einstein

«Este boceto cierra el estudio de El Modulor por confirmación de la hipótesisde partida.» Y aun AQUÍ, los DIOSES juegan! y contemplo, quedándome prudentemente  fuera de este jardín de delicias.»Le Corbusier.»El Modulor»


Libro en PDF

Le Corbusier “El Modulor”.

Ensayo sobre una medida armónica de la escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecánica.
Editorial Poseidón. Perú 973. Buenos Aires© 1953 traducción de Rosario Vera, primera edición 1953, segunda 1961. Es un PDF, texto con anotaciones y subrayados, un texto leído con atención y cariño (no sabría decir cual más…)

https://fauufpa.files.wordpress.com/2013/07/el-modulor-por-le-corbusier.pdf

Le Corbusieral final del libro en la p. 225 escribe:«Después, se verá bien. Yo sé que quienes han tocado con este instrumento afinado, ya no lo pueden dejar. Ellos tienen la palabra: ellos y todos los demás a quienes ensayará, se obstinará, discutirá, corregirá, propondrá”.
Desde 1946 yo había dicho a John Dale: «Doy de lado la patente financiada y mantengo la regla, la cinta del Modulor como utensilio de trabajo, para fabricarla en los Estados Unidos; acompañará al compás en el tablero de dibujo”.
“Lo que hay que hacer verdaderamente es Los AMIGOS DEL MODULOR, asociación universal de los que crean en él, animada por un boletín mundial redactado en diversos idiomas más otra lengua artificial de trabajo en donde los promotores y los usuarios cambiarán sus ideas con el fin de hacer perfeccionamientos grandes y pequeños. ¿Temas de esta revista? Desde la más alta Matemática hasta las más modestas repercusiones sobre la vida, sobre su ambiente, sobre los objetos de uso y consumo; desde la batería de cocina hasta las futuras catedrales de un mundo que busca su unidad. Los usuarios tienen la palabra”.

Introducción adjunta al facsímil de la cinta:
Nos imaginamos los edificios de Le Corbusier, como ejemplos de formas geométricas nítidas y detalles industriales de la edad mecanizada, pero a menudo olvidamos que integró la naturaleza y la intervención humana en sus composiciones.
Esto es más que evidente en el Modulor, su sistema de medición basado en las proporciones del cuerpo y destinado a reemplazar “el sistema métrico estéril,  con un conjunto de mediciones más armoniosas».No consiguió la aceptación universal que imaginaba, el Modulor fue su mirada fascinante para reconciliar la estatura humana (el hombre con el brazo levantado) y las matemáticas.Esta cinta métrica, facsímil de la que Corbu hizo y llevó en su bolsillo en un bote de película metálica presenta el sistema Modulor rojo y azul en un lado de una cinta flexible, con marcas imperiales y métricas en el otro.
Y finaliza “Su historia fascinante la transforma en el regalo perfecto para arquitectos, diseñadores, fanático del modernismo, matemáticos, carpinteros, y/o cualquier persona interesada en medir”.
Memoria casa Curutchet
En la página WEB de TEKNÉ, podemos leer la memoria descriptiva que Le Corbusier envió al Dr. Curutchet el 24 de Mayo de 1949.
Fue publicada en 1996 en el Nº 8 de la “Revista 3”, de Buenos Aires, en una parte hace estos comentarios acerca de “El Modulor”:

Primera PDTodo el proyecto se establece por medio del “Modulor” del cual el Sr. Amancio Williams podrá comentarle. Se trata de un sistema de medida armónica que hemos creado aquí hace más de 7 años y que aplicamos en nuestras construcciones, particularmente en el gran emprendimiento de “La Unidad Habitacional Le Corbusier” en Marsella.
(nota: Es la primera vez que leo que la Unidad Habitacional de Marsella, es denominada por Le Corbusier con su propio nombre).

Es el ejemplo del Modulor (gama armónica) el que nos ha permitido realizar, por una parte, una economía considerable de volumen y, por otra, lograr una armonía que hubiera sido imposible sin el mismo. 
El gobierno francés me autorizó en Marsella a realizar una demostración oficial de El Modulor comprobándose, es este momento, con una eficacia impresionante. Yo pienso entonces que hay motivos para solicitar para su obra una derogación de los usos en curso o por lo menos de las reglamentaciones vigentes en La Plata.


El hombre de al lado (2009) directores Mariano Cohn y Gastón
Duprat .Protagonistas Rafael Spregelburd y Daniel Aráoz 

Para esto, he pedido al Sr. Curatella Manes, canciller de la Embajada Argentina en París, y artista de primer nivel (escultor), redactar un informe dirigido a las autoridades argentinas (vía Ministerio de Relaciones Exteriores de Buenos Aires), informe en el cual se establece los requerimientos necesarios de El Modulor en materia de vivienda y en forma más general de arquitectura; señalando, igualmente, que el Modulor tiene grandes posibilidades de ser utilizado cada vez más en el mundo entero y de servir de intermediario entre las medidas de pies-pulgadas y el sistema métrico, cuestión que es de la más alta importancia para el punto de vista de la economía en general.
El Sr. Manes que ha tomado conocimiento de todo lo que está escrito y dibujado respecto del Modulor, se ha dado cuenta de la importancia que tendría para la Argentina la aplicación de este sistema de medida. Como consecuencia, él solicita a su gobierno que lo autorice a hacer en La Plata, sobre su terreno, esta primera aplicación del Modulor en la Argentina.
Le quiero señalar, a propósito, que el plan para Bogotá que voy a emprender en estos días, será enteramente establecido según la base de El Modulor, de la misma forma que las construcciones gubernamentales del centro cívico de la ciudad de Bogotá que deben comenzar dentro de poco. 
Procuraré, muy especialmente con el Sr. Manes por un lado o a través de la intervención de su arquitecto el Sr. Williams (o con alguno de los que yo le indiqué, a su elección) por el otro lado, a que esta proposición no provoque ninguna oposición.L.C.


Le Corbusier, Augusto Tobito Acevedo, Jore Gaitán Cortés, Fernando Martínez  Sanabria, Jorge Arango Sanín, Emma Villegas de Gaitán, Paul Lester Wiener

Le Corbusier menciona Bogotá, aquí una foto en su primer viaje a la Universidad Nacional de Bogotá, 1947 (1),
Y hace referencia entre otras cosas a su viaje a Bogotá y sus conferencias, que comienzan en el Teatro colón el 18 de Julio de 1947, también su presencia y conferencias en Sudamérica entre los meses de Octubre a diciembre de 1929, (2)


Algunos recuerdos
Me acordé cuando había traído a España algunos (en realidad muchos) de estos  “Modulor”. 
Los compraba en EEUU y los comercializaba en la Península Ibérica y latinoamérica a través de mi distribuidora Onlybook SL.
Venían en una lata redonda, y dentro en una cinta de 1 metro, el Modulor, en colores. 

Lamento, no tener a mano una, pero pude obtener una foto del mismo. SIIIIIIIIII la encontré, las mías son las de abajo, que alegría

«In my pocket I had the graduated measuring strip, which I kept in a little aluminium box from a used Kodak film: that box has not left mu pocket since».
«En mi bolsillo tenía la tira graduada de medición, que guardaba en una pequeña caja de aluminio de una película Kodak usada: esa caja no ha salido de mi bolsillo desde entonces».
«I am often seen in the most unexpected places taking the magic snake from its hiding-place to make a verification».
«A menudo se me ve en los lugares más inesperados tomando la serpiente mágica de su escondite para hacer una verificación».

La editorial que los hacía y sigue produciéndolos es Princeton Architectural Press, y su ISBN es 978-1-56898-0650-7 (su precio en la librería Naos de la calle Quintana 12 de Madrid es de 38 € y en Amazon es de € 42)
Videos sobre el Modulorhttps://youtu.be/LMknK5zunyQhttps://youtu.be/uI7x2DZo4Vohttps://www.dailymotion.com/video/x2ytcqc
También cerré los ojos y recordé la figura estampada en hormigón tanto en Chandigardh, al lado de la paloma, como en el museo de Le Corbusier en la misma ciudad.
El Modulor de Le Corbusier (1943 – 1954)(3)

No deja de ser curioso, que una de las grandes preocupaciones de Le Corbusier a lo largo de toda su vida, el estudio de la modulación y en concreto de su creación – el Modulor – haya tenido tan poca repercusión en el mundo de la Arquitectura o de la construcción en general, teniendo en cuenta la altísima influencia que sus obras – la mayoría creadas en base al Modulor- tuvieron y tienen sobre el resto de los arquitectos.
Las razones de este fracaso, son por un lado estructural, al chocar con una sociedad poco proclive a realizar grandes cambios en los sistemas de diseño, y las dificultades para comprender su utilidad, especialmente al leer sus libros El Modulor 1 y 2.
Le Corbusierexplicó su utilización en la unidad de habitación de Marsella, en las que utilizó solo 15 medidas de El Modulor.
Su nombre y su espíritu (4)
El Modulor, surge de la asociación de la palabra «module» y «section d’or».
Cuando colabora con Ozenfant, en sus escritos, como el capítulo “Ojos que no ven”(5) hace referencia a ambos términos:
Hay que tender al establecimiento de normas para hacer frente al problema de la perfección.El Partenón es un producto de selección aplicado a una norma.La arquitectura actúa sobre las normas.Las normas son cosa de lógica, de análisis y de estudio escrupuloso; se establecen sobre un problema bien planteado.La experimentación fija definitivamente la norma.(6)
En el capítulo “Casas en Serie”, escribe: (7)
La gran industria debe ocuparse de la edificación y establecer en serie los elementos de la casa.Hay que crear el estado de espíritu de la serie.El estado de espíritu de construir casas en serie.El estado de espíritu de habitar casas en serie.El estado de espíritu de concebir casas en serie.

La AFNOR, constituida con industriales, ingenieros y arquitectos, trabajaba en la realización de un sistema de medidas de aplicación universal.
Este sistema no convence a Le Corbusier porque el sistema métrico es una convención y no todo el mundo utiliza el mismo sistema para medir. 
El mundo anglosajón utiliza el pie como medida, más relacionado con el hombre, pero más complicado de utilizar que el sistema decimal.
Con respecto al sistema decimal Le Corbusier se manifiesta en los siguientes términos: «el metro sólo es una cifra felizmente sometida al sistema decimal, una cifra abstracta incapaz de calificar en arquitectura un intervalo (una medida), utensilio incluso peligroso si, partiendo de una abstracta conformación numérica, se materializa, por descuido o por pereza, en medidas cómodas: el metro, el medio metro, el cuarto de metro, el decímetro, etc.; evolución que se realiza poco a poco en el transcurso del siglo debilitando la arquitectura».
Que es el Modulor?


Es un sistema de medidas que pretende superar a los existentes Pie-Pulgada y el métrico decimal. Su objetivo es permitir la coexistencia de ambos sistemas, favoreciendo la normalización, la prefabricación y la industrialización.
Está basado en la medida de un hombre de 1,83 metros de altura, y que con el brazo en alto alcanzaría los 2,20 metros.
Corbudice “hay que hacerlo a la medida de los números y a la medida del hombre”.Es un sistema amónico de medidas, no de cifras, en base a la medida del hombre, a la sección áurea y a las series de Fibonacci, que paso a explicar:
Sección áurea

Surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo, a es al segmento más largo y b el más corto.
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media,​ razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) está representado por la letra griegaφ (phi) en honor al escultor griego Fidias (490 a.C. – 431 a.C.).
Se trata de un número algebraico irracional descubierto en la antigüedad que posee muchas propiedades interesantes, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta.
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Se le atribuye un carácter estético, hasta místico a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea.Sucesión de Fibonacci     

La espiral de Fibonacci es una aproximación de la espiral áurea que se genera dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión. La sucesión comienza con los números 0 y 1 y 2​a partir de estos, “cada término es la suma de los dos anteriores”. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.Además de sus aplicaciones en las ciencias de la computación, y en las matemáticas, también aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo o en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos.
En el Modulor hay pocas medidas (en el métrico existen infinitas), la riqueza del sistema resulta de la combinación de esas medidas.Es un método visual, por lo que las medidas “se ven”.Traducidas a los dos sistemas imperantes, 1,83 metros, es decir 6 pies.

El patrón del sistema métrico, es una barra equivalente a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París.
El patrón del Sistema anglosajón, es el Pie.
El patrón del Sistema Modular, es la medida del hombre.
Las medidas parten desde la medida del hombre con la mano levantada (226 cm) y de su mitad, la altura del ombligo (113 cm).
Desde la primera medida multiplicando sucesivamente y dividiendo de igual manera por el número de oro se obtiene la llamada serie azul, y de la segunda del mismo modo la roja. 
Siendo cada una sucesión de Fibonacci y permitiendo miles de combinaciones armónicas.

Serie azul, en metros, sería: …, 9,57; 5,92; 3,66; 2,26; 1,40; 0,86; 0,53; 0,33; 0,20;…Serie roja, en metros, sería: …, 4,79; 2,96; 1,83; 1,13; 0,70; 0,43; 0,26; 0,16; 0,10;…

Construcción del ModulorLe Corbusier partió de un hombre de 1,83 o 6 pies y lo insertó en un rectángulo áureo, consiguiendo 3 medidas (1.13, 1.83 y 0,70).

No entro en las proporciones y las formas por las que Le Corbusier consigue estas medidas, no solo por su complejidad sino porque escapa a mi intención en este tema. Le Corbusier escribió dos libros El Modulor 1 y 2, donde lo explica.
Lo importante es comprender que el Modulor es un sistema armónico de medidas y no de cifras, construido en base a la medida del hombre a la sección áurea y a las series de Fibonacci.
Como todo sistema de medidas se materializa en una cinta graduada, que además de  permitir medir la realidad, permite escoger medidas.
Le Corbusierutiliza colores, el rojo para las medidas que tienen que ver con la estructura física del hombre, 1,13 coincide con la altura del plexo solar, 0,70 con un buen apoyo para el antebrazo del hombre sentado.La Azul parte de un hombre de 1.83, que cuando levanta el brazo y toca el techo son 2,26.La serie Azul  mantiene una relación de 2 a 1 respecto a la Roja (1,40 = 2 x 0,70).
En la relación de medidas, surge otro apoyo novedoso, el apoyo de la mano, el plano de trabajo.De estas dos series se obtienen todas las medidas del Modulor. Le Corbusier mantenía que eran suficientes, dadas sus enormes posibilidades combinatorias, aditivas y sustractivas, a partir de 2 medidas, 1.83 y 2.26, cualquiera puede crear toda una gama de medidas armónicas basadas en El Modulor, sin necesidad de memorizarlas.
La historia del desarrollo de “El  Modulor” y de El “MODULOR 2”Cronología:Agosto de 1943 Trazado Hanning.Diciembre de 1943Trazado Maillard – LC.1944 Hanning observa el error de los trazados anteriores.Marzo de 1945 Incorporación de la medida humana: hombre de 1, 75m de altura,Hombre de 1,83 m de altura, Py.Enero de 1946 Diseño definitivo del Signo Modulor, a bordo del Cargo «Vernon S.Hood».Mayo de 1946. Comentario de Einstein.1951 Trazado Serralta – Malsonnier.  

En 1943 cuenta Le Corbusier que su colaborador Hanning debía partir a Saboya, al otro lado de las líneas enemigas y le pidió que le diera algo en lo que entretener sus horas muertas.Le Corbusier le propone trabajar en la obtención de un «enrejado de proporciones» que facilite una serie ilimitada de combinaciones, lo que sería más tarde el Modulor.Le dice:
“Tome el hombre-con-el-brazo-levantado de 2.20 m. de alto, inscríbalo en dos cuadrados superpuestos de 1.10 m., móntelo a caballo sobre los dos cuadrados y el tercer cuadrado que resulte le dará la solución. El lugar del ángulo recto debe ayudar a colocar el tercer cuadrado.»
En la Villa Stein (1927), Le Corbusier aplica la teoría de los trazados reguladores -dos rectángulos son proporcionales si sus diagonales son paralelas o perpendiculares-, como método de diseño.
Modulor 2Luego de siete años de investigaciones, y seguramente debido a la presentación que realizarían en la Triennale de Milan de 1951 realizan el Modulor 2.Encomienda la tarea de dibujarlo esmeradamente en 1950 a dos jóvenes ayudantes: Justino Serralta y André Maisonnier.

El dibujo  cuya autoría adjudica Le Corbusier a sus ayudantes ilustra la cubierta de Modulor 2 y fue la pieza central del envío a la Triennale, cuestión que se describe como un logro “histórico”.
Dice Le Corbusier«Instalado en un lugar hermoso en la Exposición de la «Divina Proportione», de la Trienal de Milán, 1951, en compañía de manuscritos o primeras ediciones de Vitruvio (80-70 a.C – 15 a.C), Villars (sic Villard es el correcto) de Honnecourt (1200 – 1250), Piero della Francesca (1415 – 1492),de Dürer (1471 – 1528), Leonardo da Vinci (1452 – 1519), Alberti (1404 – 1472), etc., etc.”.
Llama la atención el protagonismo que se les reconoce a los dos ayudantes, con elogios algo teatrales, poco habitual en Le Corbusier, reacio en general a admitir autorías. Se lee en el primer capítulo, segundo párrafo (p.13): “un tracé géométrique exact du Modulor, découvert en travail commun par deux jeunes architectes, l’un Uruguayen, l’autre Français”, mencionados como uno de los tres aportes fundamentales de Modulor 2.

Cinco páginas más adelante, comentando el envío a la Triennale, “Ce tracé géométrique est découvert en 1951, (…), par Justin Serralta, Uruguayen, et Maisonnier, Français. Il apporte son plein de satisfaction intellectuelle et artistique. (…) ce tracé faisait dire á Andréas Speiser, (…): “Comme ce tracé est beau!”.“(…) Era necesario encontrarlo, y ello tuvo lugar por la gracia de las Musas, cuyas alas habían acariciado la frente de estos dos jóvenes: Justino Serralta, uruguayo, y Maisonnier, francés, en sus indagaciones de la calle Sèvres. 
Para que las frentes se estremecieran bajo la caricia del ala de las Musas, era preciso que ellos se hubiesen aplicado apasionadamente a los problemas de la armonía. A decir verdad, era necesario que estos dos muchachos fuesen, en realidad, verdaderamente dotados”.  (Edición de la editorial Poseidón de 1962 (Buenos Aires) y 1976 (Barcelona). p. 42).

Panel para la Bienal

Los esquemas aparecen en las primeras páginas del «Modulor 2» y ocupa sólo unas hojas, quedando el resto del libro dedicado a la búsqueda de relaciones de El Modulor con otros sistemas de medida, como el Egipcio, además de la presentación de obras realizadas con el Modulor y aportaciones de otros arquitectos, ingenieros y diseñadores.
Linea reguladoraUno de los capítulos fundamentales de “Vers une architecture”, un libro publicado en 1923 y basado en ensayos escritos desde 1920 para la revista “L’Esprit nouveau”, que había fundado con el pintor Amédée Ozenfant, (1886 – 1966)  trataba de lo que llamó las «líneas reguladoras» o la cuadrícula proporcional utilizada en el diseño de edificios.
“Una línea reguladora, es una garantía frente a la arbitrariedad, es un medio de comprobación que asegura toda la labor realizada…imprime en el trabajo la cualidad del ritmo…introduce aquel aspecto intangible de las matemáticas que nos da una percepción fiel del orden. La elección de una línea reguladora marca la geometría básica del trabajo…es un medio para acceder a un fin; no es una fórmula».
En su libro “El espíritu nuevo en Arquitectura” describe su idea en cuanto al uso de los trazados: “He aquí como se establece el carácter emotivo de la arquitectura: primero el cubo general del edificio os afecta básica y definitivamente: es la sensación primera y fuerte. Ustedes abren una ventana o una puerta: inmediatamente surgen relaciones entre los espacios así determinados; la matemática está en la obra. Ya está, eso es arquitectura. Falta pulir el trabajo introduciendo la unidad más perfecta, ajustando la obra, regulando los diversos elementos: intervienen los trazados reguladores”.
El Modulor matemáticoSe desarrollaron dos Modulores: uno en relación a un hombre de 1,75 m de alto, que como se dice en el Modulor es “francesa”, y no por casualidad la altura del propio Le Corbusier,  y otro de 1,83 m de alto, que será el definitivo.

Cuando dio a conocer El Modulor a los EEUU, lo convencieron que la estatura media americana era de 1.80, y fue su colaborador Py, que una altura de 1,83, metros que daba exactamente 6 pies genera una serie que adaptaba armónicamente las medidas del sistema métrico a las del pie – pulgada.
El Modulor debía ser universal, y verificarse en una tabla de equivalencias de números más bien enteros. Entonces aparece el “Hombre Modulor” de seis pies:
“L’un entre nous, Py, dit:-“les valeurs actuelles du “Modulor” son déterminées par la stature d’un homme de 1 m. 75. C’est là une taille plutôt française. N’avez-vous pas observé dans les romans policiers anglais que les “beaux hommes”-un policier par exemple- ont toujours SIX PIEDS de haut?”(Le Modulor p.56).

“He aquí, entonces, la estatura del hombre ideal –un matón inglés-, los ciento ochenta y tres centímetros; el resto de las medidas se limitan a encajar sus gestos en la regla proporcionada. El ombligo, ciento trece centímetros –la más próxima-, el brazo en alto, dos metros con veintiséis centímetros,…el tobillo, la rodilla, todos números de una serie de Fibonacci que debían surgir de las proporciones “naturales” del hombre, pero que inevitablemente lo diseñan”.
Todas las cifras de El Modulor están explicitadas en «La construcción de El Modulor». 
Ya mencioné que no entraría en los cálculos que son de un riguroso estudio matemático que en la serie roja referencian los 6 pies o 1,84 metros de altura a la sección Áurea, el método de Euclides, la serie de Fibonacci – explicada más arriba- y las de la serie azul del doble cuadrado, la sección Áurea, el método de Euclides y el hombre de 2,26 metros con el brazo en alto.
Al estilo de los viejos y sabios matemáticos griegos y dentro de la tradición pitagórica Le Corbusier necesitaba “escuchar” las cifras, y que los números no solo fuesen números, sino números con un significado.
El Modulor geométricoLe Corbusier tenía conocimientos de los antecedentes históricos relativos a las proporciones, o los sistemas de medidas…seguro pensaría que en el cuadrado, el ángulo recto y la sección áurea encontrarían determinados elementos geométricos básicos directamente relacionados con el hombre.

Es en Agosto de 1943 que  encarga a su colaborador Hanning un primer estudio de un “enrejado de proporciones”, ya mencioné que fue en base a la intuición del hombre de 2,20 metros con el brazo levantado.
El 4 de diciembre de 1943, otra colaboradora de su taller, Elisa Maillard proponía un trazado basado en el cuadrado, la sección áurea, el ángulo recto y el doble cuadrado. 
Al respecto escribe Le Corbusier: “Elisa Maillard me trae la respuesta del compás con esta anotación en lápiz: «3 cuadrados, «4 circunferencias, «…diagonales de los compartimientos, cuadrados unos y otros rectángulos áureos. «Diagonales de pentalfa (aclaro, se refiere a la estrella de cinco puntas que presenta la forma de la letra alfa mayúscula (A) en cinco orientaciones o posiciones diferentes) de las dos pequeñas circunferencias prolongadas fuera de los círculos».Tanto el trazado de Hanning como el de Maillard, se modificaron, para resolver ciertas incorrecciones.
Es en 1951 que se llega al trazado definitivo del uruguayo Justino Telésforo Serralta Pérez (1919  – 2011) y André Maisonnier, también basado en el cuadrado, la sección áurea, el ángulo recto y el doble cuadrado. Aparece la oblicua generadora de las series de Fibonacci, roja y azul.

Serralta (8), entra en el estudio de Le Corbusier en 1948 donde permanece 3 años y medio, paralelamente a su trabajo en la Unite Habitacional de Marsella, investiga en el Modulor con Maisonnier con quien elabora una serie de dibujos que Le Corbusier utilizará y comentará ampliamente en Modulor publicado en 1955. 
En este ya aparece un dibujo reconocido por Le Corbusier como invención de Serralta -que éste bautizará como “carré 1, 2, 3, 4, 5” y posteriormente como “tetrator”, un enunciado geométrico basado en la “tetraktys” pitagórica, trazado a partir del cuadrado y sus divisiones simples, que fue uno de los ejes del desarrollo teórico de Serralta: el Unitor .

ColaboradoresLe Corbusier en su búsqueda de una relación matemática entre la medida del hombre y la naturaleza, se unió en la búsqueda de quienes le precedieron como VitruvioLeonardo Da Vinci y Leon Battista Alberti. 
Es una búsqueda antropométrica de un sistema de medidas del cuerpo humano en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el número áureo, todo con la finalidad de que sirviese como medida base en las partes de la arquitectura.
Contó con la colaboración de gente afín muy capaz, como André Wogenscky (1916 – 2004), entre 1936 y 1956 fue sucesivamente alumno, asistente, jefe de taller y arquitecto adjunto de Le Corbusier, a quien asistió en varias de sus obras: Unité d’Habitation de Marseille (1945-1952), Unité d’Habitation de Nantes-Rezé (1953-1955), convento de Santa María de La Tourette en Eveux (1953-1960) y Unité d’Habitation de Briey (1955).
Considerado a menudo el hijo espiritual de Le Corbusier, colaboró activamente con su maestro en la formulación del Modulor. Fue también presidente de la Fundación Le Corbusier de 1971 a 1988.
Otros colaboradores fueron Hanning; PyJerzy Sołtan (1913 – 2005); Justino Serralta (1919  – 2011);  André Maisonnier (1923 – 2016) y Elisa MaillardEl libro «El Modulor», termina con la demostración del matemático Tatón, de que existe un error de 6 mm en el trazado de El Modulor, preocupando seriamente a LC, que declara: «Pero en filosofía (y yo no he tenido acceso a esta severa ciencia) presumo que SEIS MILÉSIMAS de algo tienen un significado infinitamente precioso. Esto no está cerrado, no está taponado; el aire pasa; la vida está allí hecha de repetición de una fatídicaigualdad que no es precisamente ni rigurosamente igual!”.
Hubo tres trazados HanningMaillard-Le Corbusier y Serralta-Maisonnier.
A pesar de todo El Modulor se imprimió en septiembre de 1949, con los 6 mm pendientes hasta que en 1951 Serralta Maisonnier en el taller del sexto piso de la 35 Rue de Sévres en Paris lo resuelven.»El Modulor 11″, se mandó imprimir en abril de 1955, en Cap Martín.
De pronto recordé el día que vagabundeaba por París, rumbo al barrio donde estaba el estudio de Corbu, en 35 Rue de Sevrés.Solo visitar el barrio, porque el edificio se demolió, y lo que levantaron en su lugar de poco interés, es una casa de pisos, con un acceso franco que da a un patio “verde”, frente a él la plaza Le Corbusier.El estudio estaba en la sexta planta, frente a la plaza flanqueada por la rue des  Sévres, el Boulevard Raspail, la Rue de Babylone y la Rue Velpeau, en el actual 75006 de Paris.

Al llegar a París, había ido directamente al taller de Le Corbusier, situado en el sexto piso de la Rue de Sèvres, donde el gran arquitecto trabajaba en un tremendo desorden de escuadras, reglas, lápices puestos en vasos, rollos de papel-calco parados en los rincones, copias de planos al ferroprusiato, fotografías recortadas, caballetes de pintura, telas arrimadas de cara a las paredes, revistas tiradas en arcaicas mesas de delineante. Todo lo contrario de lo que yo hubiese esperado de un hombre tan dado a la exactitud, el orden, el horror al “espacio perdido”. A la vez acogedor y distante, atento y replegado -aunque punzante en sus observaciones, intransigente en sus teorías, capaz de una concentración extrema cuando maduraba una idea-, Le Corbusier me hizo trabajar a su lado durante meses, aunque, a decir verdad, no era un hombre que irradiara el entusiasmo. Su frialdad de relojero suizo (por algo era de La-Chaux-de-Fons) era conturbada, en esos días, por el pesimismo de quien se sentía rechazado por un espíritu francés que, dándoselas de cartesiano, quedaba muy apegado, en realidad, a una arquitectura Segundo Imperio, hecha de “espacios inútiles”, ornamentaciones superfluas, cornisas sin objeto, escaleras pomposas, ascensores inverosímiles, todo lo contrario de lo que reclamaba su genio lógico y afecto a la simplificación.La consagración de la primavera, Alejo Carpentier.Una cinta graduada dentro de una caja metálica de películas KodakLe Corbusier, con el Modulor, quiere obtener una herramienta que le ayude al trazado de cualquier elemento dentro de una composición. Una serie de medidas que le ayuden a concebir una proporción armoniosa de cualquier objeto, desde el más mínimo como un picaporte, hasta las dimensiones de los grandes espacios urbanos.

Esta herramienta se constituye en un elemento de superficie: «el enrejado de proporciones nos aporta una seguridad extraordinaria en el dimensionamiento de los objetos del plano; es un elemento de superficie que hemos creado, un enrejado que acomoda el orden matemático a la estatura humana»Más tarde se da cuenta que El Modulor no es realmente una herramienta de superficie sino una herramienta lineal.Su colaborador Soltan, le explica “el enrejado que usted ha descubierto sólo es un fragmento de una serie lineal de secciones áureas que tienden por una parte a cero y por otra al infinito”. A partir de entonces el Modulor se configurará como una «regla de proporciones».Soltan realiza una cinta graduada que Le Corbusier llevará en su bolsillo, enrollada dentro de una caja metálica de películas Kodak.
Le Corbusier, el rigor matemático y las ciencias


Algunas referencias:-En el Nº 65 del cuaderno A2 de 1915, aparece una reflexión acerca de los “trazados reguladores” aplicados a la sección de un templo: “…a toutes les grandes époques de l´architecture, les construccións obéissaient a un «module», géométrique élémentaire ou tous les corps se soumettaient aux multiples et sous-multiples”, «… en todas las grandes épocas de la arquitectura, las construcciones obedecían a un» módulo «geométrico elemental donde todos los cuerpos se sometían a los múltiplos y submúltiplos…”.-1918 comienza a pintar cuadros, utilizando dos conceptos: El ángulo recto y la sección áurea.
-Viajes, y observación en toda arquitectura que visita, donde constata la constancia de una altura de 2.10 a 2.20 metros, equivalente a la de un hombre con el brazo levantado.
-1921, realiza el artículo “Construir en serie”, ya habla de la casa como una máquina de habitar.
-1921: Artículo: los trazados reguladores en L’esprit Nouveau, posteriormente se publican los libros de Matila Ghyka sobre las proporciones en la naturaleza y en el arte, en el plano compositivo, pudieron hacer descubrimientos a la sombra de las publicaciones sobre “el número de oro”.
Estudia al príncipe Matila Costiesco Ghyka (1881 – 1965), fue un poeta, novelista, ingeniero eléctrico,​ matemático, historiador, militar,​ abogado, diplomático, y Ministro Plenipotenciario rumano en el Reino Unido
-1933: doctor honoris causa por la universidad de Zúrich en filosofía matemática.
-1945: descubrimiento de la idea de el «espacio indecible», “La primera prueba de la existencia es ocupar el espacio”… la clave de la emoción estética es una función espacial.
-1948, reflexiona acerca de si sería posible introducir dentro de su trazado regulador de El Modular, una serie de triángulos rectángulos semejantes al primero que confirmen una serie decreciente estudiando los razonamientos de Fibonacci.
-1950, ya definido el último trazado de El Modulor, expresa de nuevo esta sucesión de triángulos.El Modulor es una idea, un concepto. Por un lado está el desarrollo de un Modulor teórico, y por el otro un Modulor práctico.
-1943 a 1954, Le Corbusier como hombre de espíritu científico y humanista, sus preocupaciones pasaban por el plano de la Matemática y por el plano del Arte.
Los objetivos de El Modulor son claros:
-La modulación y estandarización de la construcción prefabricada
-Un sistema de proporciones, basado en la antigüedad y actualizada al siglo XX
-una regla de medidas proporcionada “al Hombre”.
Al decir de Corbu, “un “sistema de escritura” de la arquitectura, homologable –siempre según su autor- al clave bien temperado (el clave bien afinado) de J.S.Bach en la música.
Les sugiero leer el link : «Johann Sebastian Bach, los cambios, la arquitectura por Hugo Kliczkowski”https://hugoklico.blogspot.com/2016/12/johann-sebastian-bach-los-cambios-la.html
Otras cuestionesDecía Marco Vitrubio (80-70 aC – 15 aC) que las medidas del hombre están por naturaleza distribuidas de la siguiente manera: “4 dedos hacen un palmo, 4 palmos hacen un pie, 6 palmos un codo y 4 codos hacen un hombre. 4 codos hacen un paso y 24 palmos un hombre.Si abres tanto las piernas que tu altura disminuya en 1/14 y extiendes tanto los brazos y los alces de manera que con tus dedos medios alcances la línea que delimita el extremo superior de la cabeza, has de saber que el centro de los miembros extendidos será el ombligo y que el espacio que comprenden las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre será igual a la de su altura”.Leonardo da Vinci (1452 – 1519), “Tratado de Pintura” 1948
En 1948 Leonardo realiza el dibujo que representa a un hombre acostado hacia arriba con los brazos y pies extendidos en dos posiciones al mismo tiempo. Esta posición responde a la descripción literaria que 1500 años antes Vitrubio hacía en sus 10 libros de arquitectura.No aparece el número áureo en la representación del hombre de Vitrubio y Leonardo. Éste sigue estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano que Vitrubio describe en su libro De architectura”, en el Capítulo I del Libro Tercero “El origen de las medidas del Templo”.
Puede verse con más profundidad acerca de los tratados de arquitectura en mi artículo:https://hugoklico.blogspot.com/search?q=tratados
El valor de El Modulor hoy en díaPara muchos arquitectos, El Modulor es algo del pasado, bastante desconocido, con un valor nostálgico casi arqueológico.Hoy parte de sus objetivos no tienen sentido, como su conversión  en el sistema universal de medida en sustitución del Pie – pulgada y el Métrico-decimal o su uso como patrón para la prefabricación internacional.El diseño asistido por ordenador, permite cambiar las unidades de cotas de un plano automáticamente en cualquier sistema de medidas.,Otros usos si son importantes, ya que cualquier arquitecto puede controlar las medidas y las proporciones, una herramienta que facilita la reflexión acerca de las medidas de las cosas, y de éstas acorde con la estructura del hombre.
Mies van der Rohe (1866- 1969) utilizaba un sistema de base cuadrada.Tadao Ando (1941) el Ken.Y como estamos viendo Le Corbusier El Modulor.
El de Base Cuadrada –basado en el cuadrado-  y el Ken –basado en el doble cuadrado-  son sistemas estáticos, El  Modulor –basado en el doble cuadrado, la sección áurea, las series de Fibonacci y el ángulo recto- es un sistema dinámico que permite una riqueza de relaciones modulares sorprendentes.Si bien estos sistemas no son garantía del resultado arquitectónico, en el caso de le Corbusier le ha ayudado a llegar a sus objetivos, y muchos de ellos maravillosos.
Una conclusión es que la riqueza de los resultados es directamente proporcional a la riqueza de su estructura básica y a la complejidad de sus elementos geométricos implícitos. El Modulor, es en ese sentido una pieza de relojería, digno producto del hijo de un laqueador de cajas de relojes y de una pianista a lo que sumo la tradición de su lugar de nacimiento en La Chaux-de-Fonds.
La representación gráfica, un hecho, un proceso
“Ejemplo paradigmático de como una representación gráfica no está completa hasta que no lo esté el pensamiento que la origina; de como la velocidad de transmisión de datos· cerebro-mano, obliga a que el resultado gráfico sea literal, es decir, que a pesar de que evidentemente Le Corbusier sabía muy bien dibujar la mano derecha de su Hombre-Modulor, su propia mano derecha, obedeciendo al concepto del Modulor -aún incompleto-, se resistía a dibujarla. Esta interpretación se enfrenta a una controversia clásica perteneciente al campo de la expresión gráfica: la cuestión de si la relación entre pensamiento y dibujo es un hecho o es un proceso”.Manuel Franco Taboada
NotaEl Hombre Modulor no tiene brazo derecho, no está terminado dado que Le Corbusier no ha desarrollado la teoría. Es solo un muñeco humano que sirve para dar escala a la arquitectura. Le Corbusier está en una evolución permanente, desde la torpe expresión de 1932, a la fuerza de 1948.Dice le Corbusier en El Modulor “EI personaje que tiene el brazo izquierdo levantado y la mano derecha oculta, retirará ésta y la apoyará en la cota 86, quedando así determinados los cuatro puntos que definen la ocupación del espacio por la figura humana”. El dibujo estará terminado cuando la teoría estará terminada, ya que es la expresión gráfica de un concepto, el de El Modulor.

“La relación entre pensamiento y dibujo no es un hecho, es un proceso; el dibujoes un acto del pensamiento que se traduce en forma de lenguaje,y este pensamiento al convertirse en dibujo sufre muchos cambios,no es una mera representación de lo que se contempla».Fernandez AlbaIntroducción de cuadernos de campo de Julio Caro Baraja Turner. Madrid 1979

» Dessiner, c’est d’abord regarder avec ses yeux, observer, découvrir. Dessiner c’est apprendre a voir, a voir naitre, croitre, s’épanouir, mourirleschosesetlesgens. …. Le dessin est un langage, une science, un moyen d’expression, un moyen de transmission de pensée. Le dessin, en perpetuant I’image d’un objet, peut devenir un document contenant tous les éléments nécessaires pourpouvoirévoquerI’objetdessiné, celui-ci ayant disparu. Le dessin permet de transmettre intégralement la pensée sans le concours dtexplications écrites ou verbales. 11 aide la pensée a se cristalliser, a prendre corps, a se développer.
«Dibujar es primero mirar con los ojos, observar, descubrir. Dibujar es aprender a ver, ver nacer, crecer, florecer, morir cosas y personas… El dibujo es un lenguaje, una ciencia , un medio de expresión, un medio de transmitir el pensamiento. El dibujo, al perpetuar la imagen de un objeto, puede convertirse en un documento que contiene todos los elementos necesarios para poder evocar el objeto dibujado, este ha desaparecido. Transmite completamente el pensamiento sin la ayuda de explicaciones escritas o verbales. Ayuda al pensamiento a cristalizar, tomar forma y desarrollarse.Le CorbusierDessins, artículo de 1965, incluido en: » L’architecture pour Emouvoir». Jean Jenger.Fondation Le Corbusier. Spadem 1993.

El dibujo es un medio de expresión mediante el cual el pensamientoarquitectónico se cristaliza, en lo que otros autores han denominado proceso de ida y vuelta (feedback), entre la idea y el dibujo. Le Corbusier
Le Corbusier piensa con los ojos. Construye sus imágenes, y éstas seencadenan en una sintaxis narrativaLuis Fernández Galiano
En » Vers une architecture” indicaba que » hacer un plano es haber tenido ideas,y que un buen plano es una abstracción, una forma cristalina de pensamiento, un emblema repleto de significados, en el sentido de que ese plano, es el resultado de un proceso interior, mental, de diseño; de queel dibujo es en realidad posterior a la concepción:William Curtis “Le Corbusir, Ideas y Formas»Blume. Madrid 1987
«Cuando se me presenta un trabajo lo guardo en la memoria, sin permitirme hacer ningún croquis durante varios meses seguidos. Así es como está hecha la cabeza humana: tiene cierta independencia. Es una caja donde se pueden echar los elementos de un problema de cualquier modo, y luego dejarlos flotar», hacerse», fermentar». Entonces, un buen día se nota un movimiento espontáneo, procedente de dentro, se levanta una presa; coges un lápiz, un carboncillo, algunos lápices de colores… y das a luz en una hoja de papel. La idea sale,..nace.Le Corbusier

Les sugiero leer el link Sketches de Le Corbusier -viaje a Oriente y burdeles de Paris

Le Corbusier y sus dibujos por HaKhttps://hugoklico.blogspot.com/2017/01/sketches-de-le-corbusier-viaje-oriente.html

Notas1Está con 2 Augusto Tobito Acevedo (1921), 3 Jorge Gaitán Cortés (1920 – 1968), 4 Fernando Martínez Sanabria (1925 – 1991), 5  Jorge Arango Sanín (1916 – 2007), 6 Emma Villegas de Gaitán y 7 Paul Lester Wiener (1895 – 1967).
2Primera y segunda partehttps://www.lecorbusierenbogota.com/downloads/tomo2/primera_parte.pdf3Arquitecto Manuel Franco Taboada (   – 2019). Fue profesor de la Escuela Técnica Superior de Arquitectura de A Coruña. Era doctor en Arquitectura y profesor titular del Departamento de Representación y Teoría Arquitectónicas de la UDC (Universidad de A Coruña).Fue autor de artículos y libros sobre arquitectura, diseño, análisis gráfico, geométrico y arquitectónico y otras temáticas así como ponencias a diferentes congresos internacionales.Publicó el libro: «La arquitectura de Oscar Niemeyer a partir de sus dibujos» y ha sido colaborador del libro de Antonio Amado Lorenzo (1956) titulado «Le Voiture Minimum», publicado por el MIT y el CSICRecibió diversos premios de arquitectura y diseño.Director de diversas tesis doctorales y profesor de cursos de doctorado y postgrado, así como conferenciante en universidades de España, Portugal, Brasil, República Dominicana, Turquía y Cuba.Ha recibido diversos premios de arquitectura y diseño.Ha sido Coordinador del Grupo de Investigación en Representación Arquitectónica del Patrimonio (GIRAP) de la Universidad de A Coruña.Fue Director del Master en Moda: Arte, Cultura y Sociedad.4Tesis doctoral “Le Corbusier, el control geométrico matemático de la Forma”, de Elsa María Gutiérrez Labory y dirigida por el Doctor D. Enrique Solana Suárez. Escuela Técnica Superior de Arquitectura de la Universidad de las Palmas de Gran Canaria, departamento de expresión gráfica y proyectos arquitectónicos. 2004file:///D:/Datos/Documents/B%20L%20O%20G/xxXXxxXXxxXXxx%20%20%20Blog%20trabajos%20en%20PREPARACION/Modulor%20le%20corbusier/2446_2.pdf5Le edición en francés es de 1948 y la edición en castellano de 1955.: ”El Modulor I”. Ensayo sobre una medida armónica a escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y la mecánica, Barcelona: Poseidón, 1976; El Modulor II. La palabra la tienen los usuarios6 Le Corbusier, Hacia una arquitectura, Barcelona; Poseidón, 1978, p. 107Le Corbusier, Hacia una arquitectura, Barcelona; Poseidón, 1978,  p. 189.8Le Corbusier le ofrecería ir a trabajar al Punjab. El nacimiento de su primer hijo de su matrimonio con Gabrielle Delpech, lo llevó a decidirse por el Río de la Plata.Bibliografía

-Revista Vitruvius. Arquitextos. 12 Noviembre 2011.

Modulor 2 – La pesada carga de la perfección. Le Corbusier en Serralta y Clémot, y en Dieste. Jorge Nudelman

-Le Corbusier “El Modulor”.Ensayo sobre una medida armónica a la escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecánica. Editorial Poseidón. Perú 973. Buenos Aires
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